贝塔分布的有关性质及应用探讨
证设X1,X2,…Xn为来自β—分布的独立随机样本,故其结合分布密度为:
n
n
n
∏∏∏f(xi,p,q)
i=1
=
[
B
(
1p,
q)
]
n
(
i
=1
xi)p-1[
i=1
(1-
xi)]q-1
n
n
n
n
∏∏∏∏=
[
B
(
1p,
q)
]
n
(
i
=1
xi)p[
证因X~β(p,q),有
0x0
F(x)=Ix(p,q)0≤x≤1
1x1
∫其中Ix(p,q)=
x0
1B(p,q)
tp-1(1
-
t)q-1dt称之为不完全β—函数.
当p0,q≥1时
事实上,定理1可推广为:向线段[0,1]上独登时连投n个随机点,假设每个点都服从U[0,1],则左
起第k(k=1,2,…,n)个落点的概率分布为β(k,n-k+1).
定理2若X~β(p,q),且p,q皆为正整数,则X~B(p+q+1,x),且x取值于p~p+q-1.
贝塔分布的有关性质及应用探讨
徐传胜
(临沂师范学院数学系,山东临沂)
摘要:讨论了贝塔分布的部分性质,并对其应用进行了探讨.关键词:贝塔分布;分布函数;密度函数中图分类号:O221.3文献标识码:A文章编号:1009-6051(2001)04-0006-03
第4期
徐传胜:贝塔分布的有关性质及应用探讨
7
在上式中,当p,q皆为正整数时
Γ(p+q)Γ(i+1)Γ(p+q-
i)
=
Cip+q-1
p+q-1
∑则Ix(p,q)=
Cip+q-1
xi
(1
-
x)p+q-1-i,易知上式为-
n=
定义1设随机变量X的密度函数为
φ(x)=
B
(
1p,q)
xp-1
(1
-
x)q-10≤x
≤1
0其它
∫1
其中B(p,q)=xp-1(1-x)q-1dx(p0,q0),则称X服从Beta分布.简记X~β(p,q)
,
n2
)
.
证
不妨设
F—分布的密度函数为
h(x)
,在
T
=
(
mn
F)
Π(1
+
mn
F)
中求关于
F的导数,
T′F=
(
mn
)
Π(1
+
mn
F)
2
0,因此
T
=
g(F)严格单调上升,其反变换为
F(T)
=
n·T且m1-T
F′(T)
=
nm
·(1
1-
T)2
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
+
1-x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
∫∫=
x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
-
x1
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
∫∫∫=
10
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
+
x0
tp-
1(1B(
xi)]-1
n
n
n
n
∏∏∏∏故当p,q均未知时,其充分完备统计量为[ln(xi),ln(1-xi)]也即[xi,ln(1-xi)]
i=1
i=1
i=1
i=1
n
n
∏∏同理,当p已知,q未知时的充分完备统计量为ln[(1-xi)]即(1-xi);
i=1
(1
-
xi)]q(xi)-1[(1-
i=1
i=1
xi)]-1
n
∏=
[
B
(
1p,
q)
]
n
exp[
pln(
i
=1
xi)
故β—分布为一指数族分布.
n
∏+qln((1i=1
n
n
∏∏xi)](xi)-1[(1-
i=1
i=1
例2一条干净的河流中,在给定的地点,溶解在水中的氧气达到饱和的部分,服从β(3,2).
例3一批商品在销售过程中,相对跌价也服从β—分布.
例4试证β—分布为指数族分布,并求出在下列情况下的充分完备统计量.
(1)p,q皆未知;(2)p已知,q未知;(3)p未知,q已知.
,
12
)
=
22Γ(1)
=π,所以
φ(x)=
x-
12
(1
-
x)
-
12
B(
12
,
12
)
0
≤x
≤ຫໍສະໝຸດ=
0其它
π
1
0≤x≤1
x(1-x)
0其它
定理4设
F(m,
0
β(p,q)与一些常见的分布有着密切的接洽.
定理1设X~U[0,1],抽取一容量为2n+1的样本,则其中位数X(n+1)~β(n+1,n+1).
证因X~U[0,1],所以
F(x)=
0x0x0≤x1p(x)=1x≥1
p
,
t)q)
q-
1
d
t
-
x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
=
1.
所以FX(x)+FY(y)=1.β—分布是概率论与数理统计中最常见的分布之一.现列举几个日常生活中β—分布的应用实例.
例1心理学家认为:一个正常人,在整个睡眠时间中“,异相”睡眠所占的比例服从β(12,48).
0y0
1x0
又有FY(y)=IY(q,p)0≤y≤1=I1-X(q,p)0≤1-x≤1
1y1
0x1
∫∫又IY(p,q)+I1-X(q,p)=
x0
10≤x≤10其它
而样本中位数的概率密度为
f(x)
=
(2nn
+1)!n!
![
F(x)
]n[1
-
F(x)]np(x)
=
B
(
n
+
11,n
+
1)
xn
(1
-
x)n0
≤x
≤1
0
其它
因B(1,1)=1,故当p=q=1时,β(1,1)即为U[0,1].
∫Ix(p,q)=
x0
tp-
1(1B(
p
,
t)q)
q-
1
d
t
=
Γ(p+q)Γ(p+1)Γ(q)
·xp(1
-
x)q-1+Ix(p+1,q-1)
=
Γ(p+q)Γ(p+1)Γ(q)
·xp(1
-
x)
q-1
+
Γ(
Γ(pp+2)
若X~β(p,q),随机变量1-X的分布与随机变量X的分布有着微妙的接洽.
定理6若X~β(p,q)分布,则FX(x)+FY(y)=1,且Y~β(q,p).其中Y=1-X.
证
因fX(x)=
B
(
1p,q)
贝塔分布的有关性质及应用探讨贝塔分布贝塔分布函数三角分布贝塔分布舒克和贝塔贝塔男舒克和贝塔动画片全集舒克贝塔阿尔贝塔齐贝塔系数
第23卷第4期Vol.23No.4
临沂师范学院学报of’
2001年8月Aug.2001
p+q-1,p=
x且取值于p~p+q-1
i=p
间的二项分布的分布函数.
近似地可以导出β(p,q)与负二项分布间的关联.
定理3若X~β(p,q),则p=
q=
12
时为反正弦分布.
Γ(1)Γ(1)
证令p=
q=
12
,因
B
(
12
i=1
X2i
服从β(
m2
,
n2
)
.
m
n+m
∑∑分析:因Xi~N(0,σ2),i=1,2,…,n+m,Yi=XiΠσ~N(0,1),而
Y2i~X2(m),
~Y2i
X2(n+m)
,
i=1
i=1
进而可推得结论.限于篇幅,不再证明.
ontheofBetaand
XU
(Dept.ofMath.,’,,)
:Inthis,theofBetaandare.Key:Beta;;
(
m
2
+n2
2)!(n
2)!
2
2)
·Tm2-1!
·(1
-
T)
n2
-
1
0
T1=
B(
1
m2
,
n2
)
·Tm2-1
·(1
-
T)
n2
-
1
0
T1
0
其它
0
其它
m
n+m
∑∑定理5若
X1
,X2
,…,Xn+m
独立同分布于N(0,σ2)
,则
i=1
X2iΠ
(0
T1),由此得T的密度函数
f(T)
=
h
[
m
nT(1-
T)
]
·F′(T)
=
(m
+n2
-
2)
!
(
m
2
2)
!(
n
2
2)
(!
mn
)
m2
[
m
nT(1-
T)
]m2
-
1
(1+
1m·n
T
m+n
)2
·n
m
·(1
1-T)2
【下载地址】
1.下载时迅雷软件如提示‘任务错误,未知错误,敏感资源,违规内容,版权等等’都是迅雷屏蔽资源的表现,和6v无关。请仔细浏览下载帮助,依旧可以正常下载。
2.迅雷对资源的屏蔽越来越严重,推荐大家使用BT类软件或各种网盘离线。
3.本站所有资源没有不良广告,请大家放心下载。
本站所有电影完全免费,推荐使用迅雷下载,下载的人越多下载速度越快,把资源分享给您的朋友可以大大提高下载速度。
匿名 发表于 2023-10-24 20:56:36 | |
热门电影电视剧
- 国产动漫星辰变全集
- 【筋肉人】筋肉人免费下载
- Milo Manara小组
- 一组漫画曝光:“禁欲”后身体变化全过程,男女别再无知!|纵欲|暴饮暴食|熬夜
- 灿烂的遗产国语全集(100亿被私吞,李昇基讨要竟被公司死亡威胁,韩娱能有多恐怖)
- 秋色之空全集 无修 高清 秋色之空全集 无修 电影版动画片在线观看高清下载
- 10国产喜剧电影推荐,让你从头笑到尾,不开心的时候一定要看!
- 开个帖记录一下最近看的小说
- 搞笑小明尴尬全集,小明冲到办公室告诉老师!
- 穿越类漫画有哪些?(穿越类型漫画作品大全)
- 福五鼠(无锡世纪宏柏公司出品的动画)
- manara塔罗牌中文(马那哈塔罗牌)
- 宫崎骏动画天空之城剧情简介
- 藏龙阁漫画
- 男主要在一年后毁灭世界,这部高分动漫的剧情真的让人难忘!|日本动漫|章鱼老师|外星人
- 搞笑推荐:绿色衣服的大姐,被吓得不知道被摸了一下!
- 传说中的七公主第一季01
- 《福五鼠之战国风云》高清完整版在线观看
- 【图片】【介绍】◇◆2013年连载中的禁断漫画◆◇
- 秦时明月第四部万里长城
最新电影下载
- 大角牛动画片全集3-阿拉丁全集国语-头文字d2动漫全集
- 《穿越韩国耽美漫画开始新的生活》wyi文伊
- 穿越西元3000后漫画免费
- 爆笑筋肉人游戏
- 绘画新手画头发乱糟糟的非常违和教你掌握画头发的生长规律!发型刘海插画灵猫
- 史上最搞笑脑筋急转弯全集,笑了我一个礼拜~中老年人必玩
- 簪中录 簪中录漫画 簪中录漫画全集 神漫画
- 《秋色之空ova 第2集》未删减版在线观看
- 技能怎么取名火系火属性名字霸气
- 法语原版小说:巴黎圣母院(第七章第六节)
- 关于飞翔的诗句梦想
- 立花馆恋爱三角铃
- 电影电视剧银魂(日语)全集高清在线观看
- 要闻速递:大力金刚我差点就信了动画片在哪里看
- 电影笑话
- 秦时明月之诸子百家百度云
- 第八十八章黑色丝袜
- 经典炫酷的女士英文名 女生英文名冷酷的霸气66个
- 《端脑2017》免费在线观看高清全集
- 综艺《王子的移动城堡2》全集手机免费在线观看
最新电视剧下载
- 动漫妖精的尾巴1
- 灌篮高手漫画在线
- 福五鼠之战国风云后27~52集,又名(蒙古入侵)【福五鼠之蒙古入侵吧】
- 《窈窕淑男/Pixel of Life》雅琳番外 感想
- 间字在文言文和古文中的意思解释用法读音
- 电影经典幽默冷笑话120句
- 《我,魔鬼筋肉人,异界的超级玩家》最新章节在线阅读
- 第一神拳Rising动漫全集
- 好看的许毛毛电影全集
- 秘爱成婚
- 秀逗高校的作品简介
- 我差点就信了xìng
- 电影电视剧终极交换全集高清在线观看
- 米小圈上学记全集高清完整版在线观看
- 八部经典的儿童科普动画片,总有一部能打动你
- 魔兽世界漫画下拉式,免费看,在线看,阅读内容
- 冰火魔厨漫画,冰火魔厨漫画全集
- 秦时丽人明月心电视剧在线观看免费
- 穿越成王妃漫画有哪些?
- 四字成语大全集1000个